KaTeX 渲染测试文档

# KaTeX 渲染测试文档

## 基础公式测试

行内公式：$1+1=2$，$x^2 + y^2 = z^2$

行间公式：
$$E = mc^2$$

## 分数与函数测试

简单分数：$\frac{1}{2}$

复杂分数：
$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

三角函数：$\sin(\theta) + \cos(\phi) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} + \sqrt{1 - \cos^2(\phi)}$

## 含 \\ 的公式

$1\texttt{2}$

$$1\\2$$

$1\\2$

$$1\\\\2$$

## 矩阵环境测试 - 重点检查换行符 \\\\

### 基础矩阵
$$
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
$$

重复换行符

$$
\begin{matrix}
a & b \\\\
c & d
\end{matrix}
$$

### 带括号矩阵
$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
$$

### 行列式
$$
\begin{vmatrix}
x_{11} & x_{12} \\
x_{21} & x_{22}
\end{vmatrix} = x_{11}x_{22} - x_{12}x_{21}
$$

### 复杂矩阵（多行多列）
$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
$$

## 对齐环境测试

### 多行公式对齐
$$
\begin{aligned}
f(x) &= (x+1)^2 \\
&= x^2 + 2x + 1 \\
&= (x+1)(x+1)
\end{aligned}
$$

### 多行带编号
$$
\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
\end{align}
$$

## 极度复杂的行内公式测试

这是一个极度复杂的行内公式：$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt = \lim_{n\to\infty}\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots(z+n)} = \frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{z/n}$ 看看是否能正确渲染。

## 分段函数测试

$$
f(x) = 
\begin{cases}
x^2 & \text{if } x \geq 0 \\
-x^2 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$

$$
\operatorname{sgn}(x) = 
\begin{cases}
1 & \text{if } x > 0 \\
0 & \text{if } x = 0 \\
-1 & \text{if } x < 0
\end{cases}
$$

## 积分与求和测试

多重积分：
$$\iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dV = \oiint_S (Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy)$$

级数求和：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

## 极限与导数测试

$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$

$$
\frac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)dt \right) = f(x)
$$

## 最后的大型矩阵测试

$$
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\
\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dx \\
dy \\
dz
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
du \\
dv \\
dw
\end{pmatrix}
$$

$$
\det
\begin{bmatrix}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega
\end{bmatrix}
= 0 \quad \text{其中 } \omega^3 = 1
$$

测试结束。